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--- zwölf:wahrscheinlichkeiten [2012/02/04 22:03] – mogoh
+++ zwölf:wahrscheinlichkeiten [2017/02/24 22:28] (aktuell) – Externe Bearbeitung 127.0.0.1
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+====== Wahrscheinlichkeiten ======
+Auszurechnen, wie wahrscheinlich so manche Probe ist, ist relativ einfach, da immer auf die gleiche Art gewürfelt wird und das auf nicht sonderlich komplexe Weise. Wir wollen uns zunächst nur auf den Würfelergebnisse konzentrieren, und alles was daraufgerechnet und abgezogen wird (wie Attribute, Fertigkeiten, Modifikatoren, etc.) außer Acht lassen. Dies ist kein Problem, da die Additionen im Endergebnis nur konstante Verschiebungen verursachen.
+Eine Probe zählt als gelungen, wenn der vorgegebene Mindestwurf erreicht wird. Somit wird der Mindestwurf 1 immer errecht (man kann nicht niedriger als 1 würfeln). Der Mindestwurf 2 wird erreicht, wenn eine Zahl größer 1 gewürfelt wird. Die Wahrscheinlichkeit ist also $\frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{1}{12} \cdot (12 - 1) = \frac{1}{12} \cdot 11 \approx 0,917$. Die Wahrscheinlichkeit für den Mindestwurf von 3 beträgt entsprechend $\frac{1}{12} \cdot 10 \approx 0,833$. Dies geht so weiter bis zum Mindestwurf 10. Ab dem Mindestwurf 11 muss mindesten eine 11 oder 12 geworfen werden. Anschließend wird normal weiter gewürfelt. Die Wahrscheinlichkeiten multiplizieren sich. Das eine 11 oder 12 geworfen wird hat eine Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{1}{6} \approx 0,167$. Das eine 11 geworfen wird hat also die Wahrscheinlichkeit, das eine 1 geworfen wird, multipliziert mit $\frac{1}{6}$, in diesem Fall also $\frac{1}{6} \cdot 1 \approx 0,167$. Für einen Mindestwurf m ergibt sich also eine Wahrscheinlichkeit w mit folgender Formel:
+$$ w = \frac{1}{6}^{\lfloor \frac{m-1}{10} \rfloor} \cdot \frac{13 - (m - 10 \cdot \lfloor \frac{m-1}{10} \rfloor)}{12}$$
+== Faustregel für Spielleiter ==
+Für den Durchschnittsmenschen (der jedes Attribut aus 5 hat und in der gefragten Fertigkeit gut geübt ist, also auch einen Wert von 5 hat) gilt:
+  * MW 11 -> 100% (kein Problem)
+  * MW 14 -> 75% (leicht)
+  * MW 17 -> 50% (normal)
+  * MW 20 -> 25% (schwierig)
+  * MW 24 -> 12,5% (sehr schwierig)
+  * MW 30 -> 4,1% (extrem schwierig)
+  * MW 40 -> 0,7% (fast unmöglich)
+===== Erwartungswert =====
+Der Erwartungswert beträgt ungefähr 7,8.
+===== Grafiken =====
+[{{:zwölf:1-20.png |Die Wahrscheinlichkeiten von 1 - 20. Man sieht den linearen Abfall bis 10. Danach wird der Abfall flacher.}}]
+[{{:zwölf:21-40.png |Ähnlich wie bei 1 - 20 verhält es sich bei 21-40. Man beachte jedoch die Skala.}}]
+[{{:zwölf:1-100.png |Hier kann man nicht viel erkennen. Je höher der Mindestwurf um so unwahrscheinlicher ist es, diesen zu erreichen. }}]
+===== Liste aller Wahrscheinlichkeiten von 1 bis 100 =====
+<code>
+Mindestwurf: 1,   Erfolgswarscheinlichkeit: 100.0 %
+Mindestwurf: 2,   Erfolgswarscheinlichkeit: 91.6666666667 %
+Mindestwurf: 3,   Erfolgswarscheinlichkeit: 83.3333333333 %
+Mindestwurf: 4,   Erfolgswarscheinlichkeit: 75.0 %
+Mindestwurf: 5,   Erfolgswarscheinlichkeit: 66.6666666667 %
+Mindestwurf: 6,   Erfolgswarscheinlichkeit: 58.3333333333 %
+Mindestwurf: 7,   Erfolgswarscheinlichkeit: 50.0 %
+Mindestwurf: 8,   Erfolgswarscheinlichkeit: 41.6666666667 %
+Mindestwurf: 9,   Erfolgswarscheinlichkeit: 33.3333333333 %
+Mindestwurf: 10,  Erfolgswarscheinlichkeit: 25.0 %
+Mindestwurf: 11,  Erfolgswarscheinlichkeit: 16.6666666667 %
+Mindestwurf: 12,  Erfolgswarscheinlichkeit: 15.2777777778 %
+Mindestwurf: 13,  Erfolgswarscheinlichkeit: 13.8888888889 %
+Mindestwurf: 14,  Erfolgswarscheinlichkeit: 12.5 %
+Mindestwurf: 15,  Erfolgswarscheinlichkeit: 11.1111111111 %
+Mindestwurf: 16,  Erfolgswarscheinlichkeit: 9.72222222222 %
+Mindestwurf: 17,  Erfolgswarscheinlichkeit: 8.33333333333 %
+Mindestwurf: 18,  Erfolgswarscheinlichkeit: 6.94444444444 %
+Mindestwurf: 19,  Erfolgswarscheinlichkeit: 5.55555555556 %
+Mindestwurf: 20,  Erfolgswarscheinlichkeit: 4.16666666667 %
+Mindestwurf: 21,  Erfolgswarscheinlichkeit: 2.77777777778 %
+Mindestwurf: 22,  Erfolgswarscheinlichkeit: 2.5462962963 %
+Mindestwurf: 23,  Erfolgswarscheinlichkeit: 2.31481481481 %
+Mindestwurf: 24,  Erfolgswarscheinlichkeit: 2.08333333333 %
+Mindestwurf: 25,  Erfolgswarscheinlichkeit: 1.85185185185 %
+Mindestwurf: 26,  Erfolgswarscheinlichkeit: 1.62037037037 %
+Mindestwurf: 27,  Erfolgswarscheinlichkeit: 1.38888888889 %
+Mindestwurf: 28,  Erfolgswarscheinlichkeit: 1.15740740741 %
+Mindestwurf: 29,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.925925925926 %
+Mindestwurf: 30,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.694444444444 %
+Mindestwurf: 31,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.462962962963 %
+Mindestwurf: 32,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.424382716049 %
+Mindestwurf: 33,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.385802469136 %
+Mindestwurf: 34,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.347222222222 %
+Mindestwurf: 35,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.308641975309 %
+Mindestwurf: 36,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.270061728395 %
+Mindestwurf: 37,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.231481481481 %
+Mindestwurf: 38,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.192901234568 %
+Mindestwurf: 39,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.154320987654 %
+Mindestwurf: 40,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.115740740741 %
+Mindestwurf: 41,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.0771604938272 %
+Mindestwurf: 42,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.0707304526749 %
+Mindestwurf: 43,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.0643004115226 %
+Mindestwurf: 44,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.0578703703704 %
+Mindestwurf: 45,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.0514403292181 %
+Mindestwurf: 46,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.0450102880658 %
+Mindestwurf: 47,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.0385802469136 %
+Mindestwurf: 48,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.0321502057613 %
+Mindestwurf: 49,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.0257201646091 %
+Mindestwurf: 50,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.0192901234568 %
+Mindestwurf: 51,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.0128600823045 %
+Mindestwurf: 52,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.0117884087791 %
+Mindestwurf: 53,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.0107167352538 %
+Mindestwurf: 54,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.0096450617284 %
+Mindestwurf: 55,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.00857338820302 %
+Mindestwurf: 56,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.00750171467764 %
+Mindestwurf: 57,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.00643004115226 %
+Mindestwurf: 58,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.00535836762689 %
+Mindestwurf: 59,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.00428669410151 %
+Mindestwurf: 60,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.00321502057613 %
+Mindestwurf: 61,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.00214334705075 %
+Mindestwurf: 62,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.00196473479652 %
+Mindestwurf: 63,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.0017861225423 %
+Mindestwurf: 64,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.00160751028807 %
+Mindestwurf: 65,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.00142889803384 %
+Mindestwurf: 66,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.00125028577961 %
+Mindestwurf: 67,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.00107167352538 %
+Mindestwurf: 68,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.000893061271148 %
+Mindestwurf: 69,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.000714449016918 %
+Mindestwurf: 70,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.000535836762689 %
+Mindestwurf: 71,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.000357224508459 %
+Mindestwurf: 72,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.000327455799421 %
+Mindestwurf: 73,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.000297687090383 %
+Mindestwurf: 74,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.000267918381344 %
+Mindestwurf: 75,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.000238149672306 %
+Mindestwurf: 76,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.000208380963268 %
+Mindestwurf: 77,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.00017861225423 %
+Mindestwurf: 78,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.000148843545191 %
+Mindestwurf: 79,  Erfolgswarscheinlichkeit: 0.000119074836153 %
+Mindestwurf: 80,  Erfolgswarscheinlichkeit: 8.93061271148e-05 %
+Mindestwurf: 81,  Erfolgswarscheinlichkeit: 5.95374180765e-05 %
+Mindestwurf: 82,  Erfolgswarscheinlichkeit: 5.45759665701e-05 %
+Mindestwurf: 83,  Erfolgswarscheinlichkeit: 4.96145150638e-05 %
+Mindestwurf: 84,  Erfolgswarscheinlichkeit: 4.46530635574e-05 %
+Mindestwurf: 85,  Erfolgswarscheinlichkeit: 3.9691612051e-05 %
+Mindestwurf: 86,  Erfolgswarscheinlichkeit: 3.47301605446e-05 %
+Mindestwurf: 87,  Erfolgswarscheinlichkeit: 2.97687090383e-05 %
+Mindestwurf: 88,  Erfolgswarscheinlichkeit: 2.48072575319e-05 %
+Mindestwurf: 89,  Erfolgswarscheinlichkeit: 1.98458060255e-05 %
+Mindestwurf: 90,  Erfolgswarscheinlichkeit: 1.48843545191e-05 %
+Mindestwurf: 91,  Erfolgswarscheinlichkeit: 9.92290301275e-06 %
+Mindestwurf: 92,  Erfolgswarscheinlichkeit: 9.09599442836e-06 %
+Mindestwurf: 93,  Erfolgswarscheinlichkeit: 8.26908584396e-06 %
+Mindestwurf: 94,  Erfolgswarscheinlichkeit: 7.44217725956e-06 %
+Mindestwurf: 95,  Erfolgswarscheinlichkeit: 6.61526867517e-06 %
+Mindestwurf: 96,  Erfolgswarscheinlichkeit: 5.78836009077e-06 %
+Mindestwurf: 97,  Erfolgswarscheinlichkeit: 4.96145150638e-06 %
+Mindestwurf: 98,  Erfolgswarscheinlichkeit: 4.13454292198e-06 %
+Mindestwurf: 99,  Erfolgswarscheinlichkeit: 3.30763433758e-06 %
+Mindestwurf: 100, Erfolgswarscheinlichkeit: 2.48072575319e-06 %
+</code>